Heavyside Method는 분모의 한 인수를 가리고(cover up)하고 그 인수가 0이 되는 $x$의 값을 대입하여 우변의 분자를 얻는 방법이다. 이 방법을 사용하려면 분자의 차수가 분모의 차수보다 작아야 한다. 그렇지 않은 경우 다항식의 나눗셈을 한 후 사용하면 된다.
$\dfrac{g(x)}{(x-x_0)(x-x_1)}=\dfrac{A}{x-x_0}+\dfrac{B}{x-x_1}$ 꼴
양 변에 분모의 인수인 $(x-x_0)$를 곱한다.
그러면 $\dfrac{g(x)}{x-x_1}=A+B\times\dfrac{x-x_0}{x-x_1}$이 된다.
$B$를 없애서 $A$를 구하기 위해 이 식에 $x=x_0$을 대입하면 $A=\dfrac{g(x_0)}{x_0-x_1}$가 된다.
같은 방법으로 $B$를 구하기 위해 준식의 양 변에 $(x-x_1)$을 곱한다.
그러면 $\dfrac{g(x)}{x-x_0}=A\times\dfrac{x-x_1}{x-x_0}+B$이 되고
이 식에 $x=x_1$을 대입하면 $B=\dfrac{g(x_1)}{x_1-x_0}$가 된다.
이를 응용하여 $\dfrac{g(x)}{(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)}=\dfrac{k_1}{x-x_1}+\dfrac{k_2}{x-x_2}+\dots+\dfrac{k_n}{x-x_n}$인 형태일 때도 분해할 수 있을 것이다!
$\dfrac{g(x)}{(x-x_0)^2(x-x_1)}=\dfrac{A}{(x-x_0)^2}+\dfrac{B}{x-x_0}+\dfrac{C}{x-x_1}$ 꼴
$$ \dfrac{g(x)}{(x-x_0)^2(x-x_1)}-\dfrac{A}{(x-x_0)^2}=\dfrac{B}{x-x_0}+\dfrac{C}{x-x_1} $$
$$ \dfrac{g(x)-A(x-x_1)}{(x-x_0)^2(x-x_1)}=\dfrac{B}{x-x_0}+\dfrac{C}{x-x_1} $$
와 같은 꼴로 식을 바꾼다. 우변의 식을 통분하면 분모는 $(x-x_0)(x-x_1)$이므로 $g(x)-A(x-x_1)$는 $(x-x_0)$를 인수로 가지고 있을 것을 알 수 있다.
따라서 $g(x)-A(x-x_1)$을 $(x-x_0)$으로 나눈 식을 $\bar{g}(x)$이라고 하자.
그러면 식이 $\dfrac{\bar{g}(x)}{(x-x_0)(x-x_1)}=\dfrac{B}{x-x_0}+\dfrac{C}{x-x_1}$의 꼴이 된다. 이는 1번과 같은 꼴이므로 계산할 수 있다.
$B$와 $C$를 구했다면 $\bar{g}(x)$를 알 수 있고 따라서 $A$도 알 수 있다.
$\dfrac{g(x)}{(x^2+px+q)(x-x_0)}=\dfrac{Ax+B}{x^2+px+q}+\dfrac{C}{x-x_0}$ 꼴
1번에서 사용한 것과 같은 방법으로 양변에 $(x-x_0)$를 곱하고 $x=x_0$를 대입해서 $C$를 구한다.
그 다음
$$ \dfrac{g(x)-C(x^2+px+q)}{(x^2+px+q)(x-x_0)}=\dfrac{Ax+B}{x^2+px+q} $$
와 같은 식의 꼴로 바꾼다. 우변의 분모가 $x^2+px+q$이므로 좌변의 분자는 $(x-x_0)$을 인수로 가지고 있는 것을 알 수 있다.
따라서 $g(x)-C(x^2+px+q)$를 $(x-x_0)$로 나눈 식을 $\bar{g}(x)$라고 하자. 우리가 $\bar{g}(x)$를 알고 있기 때문에 $A$와 $B$를 알 수 있다.